Friday, June 22, 2012

Montage #60 - Prime Numbers / Les nombres premiers

As of July 27, 2012, this montage will no longer be available on Pod-O-Matic. It can be heard or downloaded from the Internet Archive at the following address / A compter du 27 juillet 2012, ce montage ne sera plus disponible en baladodiffusion Pod-O-Matic. Il peut être téléchargé ou entendu au site Internet Archive à l'adresse suivante:

pcast060 Playlist

English Commentary – le commentaire français suit

As we did last week, I will rely on a major collection of works to illustrate our sequence of prime numbers. Today, I chose the op. 24 set of preludes by Chopin. The complete set of op. 24 preludes are found on the Piano Society website. Chopin also ends the montage with his op. 53 heroic polonaise.

Is the “number 1” a Prime Number?

In this week’s montage illustrating the sequence of the first few prime numbers, I omitted the number 1 (in the form of Chopin’s prelude op. 28, no. 1), but this begs the question: is “1” a Prime Number? It, indeed, meets the basic definition of having as factors the number “1” and itself “tha is, the number 1…) but according to Wolfram Math World:

The number 1 is a special case which is considered neither prime nor composite. Although the number 1 used to be considered a prime (Goldbach 1742; Lehmer 1909, 1914; Hardy and Wright 1979; Gardner 1984; Sloane and Plouffe 1995; Hardy 1999), it requires special treatment in so many definitions and applications involving primes greater than or equal to 2 that it is usually placed into a class of its own.

The most compelling argument against 1 as a prime number (other than the way prime numbers are defined, making the argument pointless…) is this one: the fundamental theorem of arithmetic states that every positive integer (except the number 1) can be represented in exactly one way (apart from rearrangement) as a product of one or more primes. A good reason not to call 1 a prime number is that if 1 were prime, then the statement of the fundamental theorem of arithmetic would have to be modified since "in exactly one way" would be false because any n = n X 1 . In other words, unique factorization into a product of primes would fail if the primes included 1.

Paul Hindemith wroe a symphony (in B Flat) for wind band, however our “prime number” for him is 41, corresponding to his cobcert music for wind band. Dvorak makes a third appearance in three weeks, this time with his overture to the opera Selma sedlakDebussy, Brahms, Saint-Saens, Vivaldi and Mozart provide works as well.

The Vivaldi and Brahms selections come from the music library of the Isabella Stewart Gardner Museum, a major venue at our upcoming summer chamber music festival on Tuesdays this Summer – more on that in a couple of weeks.

I think you will love thia music too.

Commentaire français

La collection primée cette semaine est l'ensemble des préludes (op. 24) de Chopin. Primée, en effet, car notre exploration numérique de la semaine est la séquence des nombres premiers, de 2 à 53. Voici l'intégrale des préludes, selon des membres de la Piano Society:

Chopin nouys offre le 2 et le 53 - gracieuseté de sa polonnaise héroïque.

Le cnombre "1" est-il premier?

La définition officielle d'un nombre premier est un nombre plus grand ou égal à 2, qui n'est divisible que par "1" et lui-même. Hormis la restriction que le nombre doit être plus grand ou égal à 2, "1" rencontre le reste de la définition, ce qui explique pourquoi, à l'élémentaire, on nous enseignait que ce dernier était premier.

Le théorème fondamental de l'arithmétique dicte qu'il n'existe qu'un seul groupe de facteurs premiers qui peuvent représenter n'importe lequel nombre, comme (par example) 2 X 2 X 2 = 8. Si "1" était premier, le théorème serait invalide (car 1 X 2 X 2 X 2 = 8 égalementù).

Les autres sélections

Paul Hindemith composa une symphonie (en si bémol majeur) pour harmonie. Toutefois, nous avons choisi sa Konzertmisic pour harmonie ("41") dans notre suite). Dvorak nous revient pour une troisième semaoine, avec l'ouverture de l'opéra Selma sedlakDebussyBrahmsSaint-SaensVivaldi et Mozart font .galement des contributions.

Le Vivaldi et le Brahms sont des sélections provenant de la bibli musicale du mus.e Bostonnais Isabella Stewart Gardner, un lieu que nous visiterons régulièrement cet été - plus de détails dans une quizaine de joiurs.

Bonne écoute!